“Optimal Resource Allocation in Coordinated Multi-Cell Systems” 的笔记。
基站：是指在一定的无线电覆盖区中，通过移动通信交换中心，与移动电话终端之间进行信息传递的无线电收发信电台。扇区：覆盖一定地理区域的无线覆盖区，是对无线覆盖区域的划分。小区：小区是为用户提供无线通信业务的一片区域，是无线网络的基本组成单位。基站支持的小区数由“扇区数×每扇区载频数”确定。在3×2配置中，整个圆形区域分为3个扇区进行覆盖，每扇区使用2个载频，那么就一共有6个小区。（但一个基站对应的最大小区数不止6个）
1. 介绍
1.1 多天线通信概论
信道：通信的目的是通过称为信道的物理介质在设备之间传输数据。
在无线通信中，数据以电磁波的形式在媒介中传播。无线信道会对发射信号产生干扰，包括热噪声，其他无线电信号的干扰等。
无线频谱资源非常宝贵，因此无线通信系统应该高效的利用频率资源。
提高频谱效率：允许多个设备并行通信，但用户彼此会干扰。
处理干扰的方式：保证同时使用相同资源的用户间隔较远。对于单天线发射，固定频率重用模式，使得相邻扇区不使用相同的资源，但是低效。对于多天线系统，通过波束形成，可以精确地将信号传输给指定用户，增加接收信号功率（阵列增益），同时减少对其他用户的干扰。波束成形就是通过对多个天线发射信号的幅度和相位进行调制，使得在指定方向上累加，在其他方向上相消。转向基本上是指在用户的方向上形成具有视距传播的波束，并使多径分量在非视距用户周围的地理区域内相干地叠加。波束成形分辨率取决于传播环境，并且通常随发射天线的数量而提高。所以多天线系统相比于单天线系统更优。数学上可以证明，随着天线数量增加，频谱效率也线性增加。
最佳频谱效率是通过非线性干扰预抵消技术实现的，例如脏纸编码。
单小区场景更具挑战性，但也可以达到更高的频谱效率。
多小区下行链路备受关注，因为如果发射机之间的协作取代频率重用模式，可以进一步提高整个系统的频谱效率。
1.2 单小区下行链路的系统模型
下行链路多用户系统：
基站中含有 $N$ 根天线，小区中含有 $K_r$ 个用户。第 $k$ 个用户记为 $MS_k$，并假设用户端只有一根天线。该场景可以被视为几个多输入单输出(MISO)链路的叠加，因此它也被称为 MISO 广播信道或多用户 MISO 通信。（对于多输入单输出，我的理解是，对于用户来说，基站的多个天线发射的信号是输入，用户的单天线发射的信号是单输出。）
假设信道是平坦衰落，记为 $\mathbf{h} _ k \in \mathbb{C}^{N}$。$\left[\mathbf{h} _ {k} \right] _ n$ 表示第 $n$ 根发射天线的信道。其模表示信道的衰减，参数描述了通道附加的相移。同时，假设信道向量是准静态的；也就是说，在许多传输符号的持续时间（即相干时间）内是恒定的。所有信道向量的集合 $\{\mathbf{h} _ {k}\} _ {k=1} ^ {K_{r}}$ 称为信道状态信息（$CSI$），且我们假设 $CSI$ 对基站已知。
下行链路单小区通信系统模型方框图：
根据上图，$\mathrm{MS}_{k}$ 处的接收向量 $y _ {k} \in \mathbb{C}$ 由线性输入输出模型表示：
\[y_{k}=\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{x}+n_{k}\tag{1.1}\]其中，$n_{k} \in \mathbb{C}$ 表示干扰和加性噪声，服从圆对称复高斯分布，$n_{k} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right)$。此处只讨论单载波的情况。
上图中的 $x$ 包含了所有用户
\[\mathbf{x}=\sum_{k=1}^{K_{r}} \mathbf{s}_{k}\tag{1.2}\]$\mathbf{s}_{k}$ 均值为 $0$，其信号相关矩阵为
\[\mathbf{S}_{k}=\mathbb{E}\left\{\mathbf{s}_{k} \mathbf{s}_{k}^{H}\right\} \in \mathbb{C}^{N \times N}\tag{1.3}\]这种传输方式被称为线性多流波束形成（$linear multi-stream beamforming$），$\mathbf{S}_{k}$ 的秩是流的数量。
定义 1.1：信号相关矩阵的选择称为「传输策略」，分配给 $MS_k$ 的平均传输能量是 $tr(\mathbf{S} _ {k})$。
唯一感兴趣的策略是满足系统功率限制的策略。
1.2.1 能量限制
信号能量 $\operatorname{tr}\left(\mathbf{S}_{k}\right)$ 和噪声能量 $\sigma^{2}$ 一般单位是 $mW$ 或者 $dBm$，假设有 $L$ 个约束，
\[\sum_{k=1}^{K_{r}} \operatorname{tr}\left(\mathbf{Q}_{l k} \mathbf{S}_{k}\right) \leq q_{l} \quad l=1, \ldots, L \tag{1.4}\]其中，$\mathbf{Q}_{l k} \in \mathbb{C}^{N \times N}$ 是半正定厄密特的权重矩阵，且 $q _l \geq 0$。为了保证功率在所有空间方向上都受到限制，对于每个 $k$ 满足 $\sum _ {l=1} ^ {L} \mathbf{Q} _ {l k} \succ \mathbf{0} _ {N}$（可以理解为每个 $\mathbf{Q} _ {l k}$ 针对一个天线，所以累加和才表示所有天线的权重，其应该大于0）。可能的约束有物理约束，经济约束，监管约束，干扰约束。
下面的话看不懂
The matrices $\mathbf{Q}_ {l k}$ might be the same for all users, but can also be used to define subspaces where the transmit power should be kept below a certain threshold when transmitting to a specific user (or subset of users). The motivation is, for example, not to disturb neighboring systems and the corresponding constraints are called soft-shaping, because the shape of the transmission is only affected if the power without the constraint would have exceeded the threshold $q_{l}$. For example, if the inter-user interference caused to $\mathrm{MS} _ {k}$ should not exceed $q_{l}$, then we can set $\mathbf{Q} _ {l i}=\mathbf{h} _ {k} \mathbf{h} _ {k} ^ {H}$ for all $i \neq k$ and $\mathbf{Q} _ {l k}=\mathbf{0} _ {N}$. This is relevant both to model so-called zero-forcing transmission (i.e., with zero inter-user interference) and in the area of cognitive radio, where a secondary system is allowed to use licensed spectrum if the interference caused to the system of the licensee is limited.
$(1.4)$ 的能量约束也可以分解为每个用户的能量约束，
\[\operatorname{tr}\left(\mathbf{Q}_{l k} \mathbf{S}_{k}\right) \leq q_{l k} \quad k=1, \ldots, K_{r}, l=1, \ldots, L \tag{1.5}\]其中，$q_{l k} \geq 0$。且
\[\sum_{k=1}^{K_{r}} q_{l k} \leq q_{l} \quad l=1, \ldots, L \tag{1.6}\]1.2.2 资源分配
定义 1.2：选择传输策略 $\mathbf{S}_{1}, \ldots, \mathbf{S}_{K_{r}}$ 以服从能量约束被称为「资源分配」
资源分配依据一定标准。$\operatorname{tr}\left(\mathbf{S} _ {k}\right)$ 描述了分配给用户 $MS_k$ 的能量，$\mathbf{S} _ {k}$ 的特征值和特征向量描述了能量的空间方向性。$\mathbf{S} _ {k}$ 的秩等于多路复用到 $MS _k$ 的并行数据流数目。
SDMA 是本教程的主要关注点，我们假设发送给每个用户的数据队列是无限的；数据通过回程网络传回基站。
基本信道模型
信道向量一般服从复高斯分布，$\mathbf{h} _ {k} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(\overline{\mathbf{h}} _ {k}, \mathbf{R} _ {k} \right)$，其中均值 $\overline{\mathbf{h}} _ {k} \in \mathbb{C} ^ {N}$ 描述了视距传播，其协方差矩阵 $\mathbf{R} _ {k} \in \mathbb{C} ^ {N \times N}$ 描述信道的变化性质。这一模型称为 Rician fading，或 Rayleigh fading（如果$\overline{\mathbf{h}} _ {k}=\mathbf{0}$），因为每个信道元素的幅值服从 Rice 或 Rayleigh 分布，该模型在多径场景中很有用。空间方向性由 $\mathbf{R} _ {k}$ 中的非对角元素指定。信道衰减在很大程度上取决于发射机和接收机之间的距离，3GPP 将其建模为 $-128.1-37.6 \log _{10}(d) \mathrm{dB}$。因此，在蜂窝系统中 $\frac{\operatorname{tr}\left(\mathbf{R} _ {k}\right)}{N}$ 的范围为 -70 到 -140 $dB$。噪声能量 $\sigma^{2}$ 可以建模为 $-174+10 \log _ {10}(b)+n _ {f} \ dBm$。其中，$b$ 是带宽，单位为 Hz，$n _ f$ 是由硬件引起的噪声系数。此外，发射功率(每个平坦衰落子载波)通常在 $0-20 \ dBm$ 的范围内。由于接收信号功率和噪声功率都是非常小的量，归一化在数值计算中通常是有益的。
1.3 将单小区下行扩展到多小区下行
主要介绍多小区下行链路的一些方法与局限性。
1.3.1 动态合作集群
将单小区扩展到多小区。假设有 $K_t$ 个基站，第 $j$ 个基站表示为 $BS _j$，配有 $N$ 根天线。天线阵列可以有任何结构，但假设 $N _ j$ 固定。天线总数有 $N= \sum _ {j=1} ^ {K _ {t}} N _ {j}$。基于前述讨论，可以得出下列结论：
- 每个用户由所有基站的子集联合服务。
- 一些基站和用户相距很远，这使得估计这些信道上的干扰并将其与背景噪声分离是不切实际的。
可以得出以下定义：
定义 1.3：动态协作集群（DCC）：1. 基站 $BS_j$ 对 $\mathcal{C} _ {j} \subseteq \left\{1, \ldots, K _ {r}\right\}$ 中的用户有信道估计，然而对 $i \notin \mathcal{C} _ {j}$ 的用户产生的干扰很小，可以视作高斯背景噪声。2. 基站 $BS_j$ 与 $\mathcal{D} _ {j} \subseteq \mathcal{C} _ {j}$ 中的用户进行数据交互。
两个小区的原理图交集：
在上图中，内部集合 $\mathcal{D} _ {j}$ 包括了基站与之进行数据交互的用户；$\mathcal{C} _ {j}$ 包括了基站需要考虑并协调干扰的所有用户。成员会动态改变。基站之间可以针对用户与不同的基站合作。
我们假设 $\mathcal{C} _ {j}, \mathcal{D} _ {j} \forall j$ 是已知的。
1.3.2 扩展系统模型：多小区下行链路
在多小区场景中，从各基站到用户 $\mathrm{MS} _ {k}$ 的信道可以表示为 $\mathbf{h} _ {k}=\left[\mathbf{h} _ {1 k} ^ {T} \ldots \mathbf{h} _ {K _ {t} k} ^{T}\right]^{T} \in \mathbb{C} ^ {N}$，其中 $\mathbf{h} _ {j k} \in \mathbb{C} ^ {N _ {j}}$ 是来自 $BS _j$ 的信道，$N=\sum _{j=1}^{K _ t}N _ j$。基于定义 1.3 的 $DCC$，只有 $\mathbf{h} _ {k}$ 的特定的信道元素会传输数据或者不可忽略的干扰。这些可以通过对角矩阵 $\mathbf{D} _ {k} \in \mathbb{C} ^ {N \times N}$ 和 $\mathbf{C} _ {k} \in \mathbb{C} ^{N \times N}$ 进行选择：
\[\begin{aligned} &\mathbf{D}_{k}=\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{D}_{1 k} & & \mathbf{0} \\ & \ddots & \\ \mathbf{0} & & \mathbf{D}_{K_{t} k} \end{array}\right] \quad \text { where } \mathbf{D}_{j k}= \begin{cases}\mathbf{I}_{N_{j}}, & \text { if } k \in \mathcal{D}_{j}, \\ \mathbf{0}_{N_{j}}, & \text { otherwise }\end{cases} \\ &\mathbf{C}_{k}=\left[\begin{array}{ccc}\ \mathbf{C}_{1 k} & & \mathbf{0} \\ & \ddots & \\ \mathbf{0} & & \mathbf{C}_{K_{t} k} \end{array}\right] \quad \text { where } \mathbf{C}_{j k}= \begin{cases}\mathbf{I}_{N_{j}}, & \text { if } k \in \mathcal{C}_{j} \\ \mathbf{0}_{N_{j}}, & \text { otherwise }\end{cases} \end{aligned}\]因此，$\mathbf{h} _ {k} ^ {H} \mathbf{D} _ {k}$ 是给 $\mathrm{MS} _ {k}$ 传输数据的信道（其实就是筛选出 $\mathrm{MS} _ k$ 所在的基站），而 $\mathbf{h} _ {k} ^ {H} \mathbf{C} _ {k}$ 是用于传输不可忽略的干扰的信道。在优化资源分配时，必须同时具有 $\mathbf{D} _ {k}$ 和 $\mathbf{C} _ {k}$，以确保只有正确的基站向用户 $\mathrm{MS} _ {k}$ 发送。
对单小区输入输出模型进行扩展，$\mathrm{MS} _ {k}$ 处的符号采样复基带接收信号为：
\[y _ {k}=\mathbf{h} _ {k}^{H} \mathbf{C} _ {k} \sum_{i=1}^{K _ {r}} \mathbf{D} _ {i} \mathbf{s} _ {i}+n _ {k}\tag{1.9}\]其中，$n _ {k} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma _ {k}^{2}\right)$ 现在既包括噪声，又包括来自所有 $k \notin \mathcal{C} _ {j}$ 基站的不协调弱干扰。上式可以从下图说明。$\mathbf{D} _ {i} \mathbf{s} _ {i}$ 对应定义1.3中的第二条，限定了信号的有效部分是与进行数据交互的基站相关的部分；$\mathbf{h} _ {k} ^ {H} \mathbf{C} _ {k}$ 对应定义1.3中的第一条，限定了信道的有效部分只能是给 $\mathrm{MS} _ {k}$ 传输不可忽视的干扰的信道。该假设限制了分析传输所需的 $CSI$ 的量，并且如果 $\mathcal{C} _ {j}$ 中仅包括将接收比背景噪声更强的信号的用户，则该假设是合理的。如果基站协调对相邻小区的所有小区边缘用户的干扰(类似于怀纳模型)，则这可能被满足。用户间的方差 $\sigma _ {k}^{2}$ 一般不同（表示对特定用户，非协调干扰有多弱）并且使用接收到的信号来估计和追踪方差。值得指出的是，$\sigma _ {k}^{2}$ 隐含地与功率约束相结合，如果增加整个系统的功耗，那么不协调干扰也会增加。这个关系对本教程没有特别的影响，因为我们的功率约束是固定的，但是在任何渐近分析中都是非常重要的，因为多小区系统在高信噪比条件下基本上是受干扰限制的。在没有指出的情况下，假设 $\mathrm{BS} _ {j}$ 完全知道 $k \in \mathcal{C} _ {j}$ 的用户的 $\mathbf{h} _ {j k}$ 和 方差 $\sigma _ {k}^{2}$。
下行多小区通信的一般系统模型框图：
和单小区场景一样，传输受到 $(1.4)$ 中的 $L$ 个功率约束的限制。一个重要的区别在于，实际发送的信号是 $\mathbf{D} _ {k} \mathbf{s} _ {k}$ (而不是 $\mathbf{s} _ {k}$)，因此每个加权矩阵 $\mathbf{Q} _ {l k}$ 应该满足附加条件，即 $\mathbf{Q} _ {l k}-\mathbf{D} _ {k} ^ {H} \mathbf{Q} _ {l k} \mathbf{D} _{k}$ 对于所有 $l,k$ 是对角的(例如，为零)。这一技术假设确保不将功率分配给不允许的子空间，以降低用于传输的子空间中的(测量的)功率-这仅在 $\mathbf{Q} _ {l k}$ 非对角矩阵时才可能。在多小区场景（但不是必需的）中经常假设每个功率约束仅影响来自其中一个基站的信号；例如，每个发射机的功率约束可以通过令 $L=K _ {t}$ 来表示，且影响 $\mathrm{BS} _ {l}$ 的约束是：
如果没有其他说明，本教程中的分析适用于任何可行的功率约束集。
1.3.3 多小区场景示例
例 1.1 Wyner 模型
可以假设用户只从所在基站和相邻基站接收信号，即 $\mathrm{MS} _ j$ 同时被 $\mathrm{BS} _ {j-1}$，$\mathrm{BS} _ {j}$，$\mathrm{BS} _ {j+1}$ 服务，如图 1.7 所示：
线性Wyner模型的多小区场景图示：
我们有 $\mathbf{D} _ {k}=\mathbf{C} _ {k}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{0} _ {N _ {1}+\cdots+N _ {j-2}}, \mathbf{I} _ {N _ {j-1}+N _ {j}+N _ {j+1}}, \mathbf{0} _ {N _ {j+2}+\cdots+N _ {K _ {t}}}\right)$。
例 1.2 协调波束成形
协调波束成形意味着每个基站都有一组不相交的用户来提供数据服务，但与所有其他基站共同选择传输策略以减少小区间干扰。
协调波束成形的多小区场景图示：
每个小区有任意数量的用户，只有一个用户的小区的特殊情况称为干扰信道（$interference channel$）。
假设有2个基站和 $K_r$ 个用户。那么，对于所有与基站 $1$ 进行数据交互的用户，$\mathbf{D} _ {k}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{I} _ {N _ {1}}, \mathbf{0} _ {N _ {2}}\right)$，对所有与基站 $2$ 进行数据交互的用户有 $\mathbf{D} _ {k}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{0} _ {N _ {1}}, \mathbf{I} _ {N _ {2}}\right)$。由于全局的干扰协调，$\mathbf{C} _ {1}=\mathbf{C} _ {2}=\mathbf{I} _ {N}$。
例 1.3 全局联合传输
理想情况下，所有基站都可以服务和协调对所有用户的干扰。即使蜂窝网络最初是由许多小区和小区扇区构建的，这种理想/完整的 CoMP 也将系统变成了具有分布式天线阵列的单个小区；见图 1.9。与经典单小区场景的主要区别可能是功率限制，通常是按天线或按发射机定义的。其特征 $\mathbf{D} _ {k}=\mathbf{C} _ {k}=\mathbf{I} _ {N}$
全局联合传输的多小区场景图示：
例 1.4 认知无线电
底层认知无线电是这样一种场景：如果次系统对主系统造成轻微干扰，则允许次系统使用主系统的许可频谱；请参见图1.10。当主系统没有充分利用其频谱时，这种情况尤其相关。
底层认知无线电的多小区场景图示：
假设索引在 $\mathcal{K} _ {\text {primary }}=\{1, \ldots, K _ {\text {primary }}\}$ 的用户属于主系统，在 $\mathcal{K} _ {\text {secondary }}=\{K _ {\text {primary }}+1, \ldots, K _ {r}\}$ 的用户属于次系统，并被基站联合服务。那么对 $k \in \mathcal{K} _ {\text {primary }}$ 的用户有 $\mathbf{D} _ {k}=\mathbf{0} _ {N}$；对 $k \in \mathcal{K} _ {\text {secondary }}$ 的用户有 $\mathbf{D} _ {k}=\mathbf{I} _ {N}$。也有 $\mathbf{C} _ {k}=\mathbf{I} _ {N}$，因为对于所有用户干扰被联合协调（上图中 $\mathcal{C}$ 的圈包括 $\mathcal{D}$）。最后，有 $K _ {\text {primary }}$ 个具有形式为 $\mathbf{Q} _ {k i}=\mathbf{h} _ {i} \mathbf{h} _ {i}^{H} \forall k \in \mathcal{K} _ {\text {secondary }}$ 的软成形约束以限制对主系统中的用户的干扰。对应的 $q_{i}$ 限制了可以对用户 $i \in \mathcal{K} _ {\text {primary }}$ 造成的最大干扰功率。（按照我的理解，上图中主系统中的用户并非没有基站与他们进行数据交互，只是该例子在考虑次系统占用主系统的频谱的问题，所以侧重分析次系统中的基站与用户的数据交互。）
例 1.5 两个运营商之间的频谱共享
覆盖同一区域的两个运营商之间的频谱共享场景说明，造成运营商间干扰：
上图中，运营商 $1$ 具有圆形天线阵列并为笔记本电脑提供服务，而 运营商 $2$ 具有三角形阵列并为智能手机提供服务。
假设 $\mathrm{MS} _ {k}$ 由运营商 $1$ 的基站 $\mathrm{BS} _ {1}$ 提供服务，因此 $\mathbf{D} _ {k}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{I} _ {N _ {1}}, \mathbf{0} _ {N _ {2}}, \ldots\right)$。$\mathrm{MS} _ {k}$ 接收的信号由运营商 $1$ 的 $\mathrm{BS}_{1}$ 和运营商 $2$ 的 $\mathrm{BS} _ {A},\mathrm{BS} _ {B},\mathrm{BS} _ {C}$ 组成。因此，
\[\mathbf{C}_{k}=\operatorname{diag}(\underbrace{\mathbf{I}_{N}}_{\mathrm{BS} 1}, \mathbf{0}, \ldots, \mathbf{0}, \underbrace{\mathbf{I}_{N_{\mathrm{A}}}, \mathbf{I}_{N_{\mathrm{B}}}, \mathbf{I}_{N_{\mathrm{C}}}}_{\mathrm{BS}_{\mathrm{A}}, \mathrm{BS}_{\mathrm{B}}, \mathrm{BS}_{\mathrm{C}}}, \mathbf{0}, \ldots)\]该模型很容易扩展到还考虑来自同一运营商的小区间干扰的情况（通过相应地修改矩阵 $\mathbf{C} _ {k}$）。另一个扩展是在一个运营商内应用全联合传输，这可以通过 $\mathbf{D} _ {k}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{I} _ {N _ {1}}, \mathbf{0} _ {N _ {2}}, \mathbf{I} _ {N _ {3}}, \mathbf{0} _ {N _ {4}}, \ldots\right)$ 建模。
1.4 多小区性能度量和资源分配
在这一部分中，我们定义了测量多小区系统性能的一般方法。将性能分成两个部分是有指导意义的：(1)每个用户体验的性能；(2)系统效用，它是同时可实现的用户性能的集合。这两个部分将在以下小节中进行描述和分析。
1.4.1 用户性能
为了实现低复杂度和高效的接收器，我们假设单用户检测意味着用户在解码自己的信号时不试图解码和减去干扰信号。除了在低干扰情况下，这种假设在频谱效率方面有局限性，但需要较少复杂的信号处理算法进行接收。原则上，它还将干扰控制的责任放在发送端，那里有可用的计算资源。$\mathrm{MS} _ {k}$ 对应的 $SINR$ 为：（下面式子的解释：注意是解码后的信号，所以 $y _k=\mathbf{h} _ {k}^{H} \mathbf{C} _ {k} \mathbf{D} _ {k} \mathbf{s} _ {k}$，信干噪比就是信号功率/(噪声功率+干扰功率)）
\[\begin{aligned} \operatorname{SINR}_{k}\left(\mathbf{S}_{1}, \ldots, \mathbf{S}_{K_{r}}\right) &=\frac{\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k} \mathbf{D}_{k} \mathbf{S}_{k} \mathbf{D}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}}{\sigma_{k}^{2}+\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k}\left(\sum_{i \neq k} \mathbf{D}_{i} \mathbf{S}_{i} \mathbf{D}_{i}^{H}\right) \mathbf{C}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}} \\ &=\frac{\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{D}_{k} \mathbf{S}_{k} \mathbf{D}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}}{\sigma_{k}^{2}+\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k}\left(\sum_{i \in \mathcal{I}_{k}} \mathbf{D}_{i} \mathbf{S}_{i} \mathbf{D}_{i}^{H}\right) \mathbf{C}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}} \end{aligned}\tag{1.11}\]其中，第二个等式遵循自 $\mathbf{C} _ {k} \mathbf{D} _ {k}=\mathbf{D} _ {k}$ 且 $\mathbf{C} _ {k} \mathbf{D} _ {i} \neq \mathbf{0}$ 只对用户 $i$ 和下式成立（第二个等式不理解）
\[\mathcal{I}_{k}=\bigcup_{\left\{j \in \mathcal{J}: k \in \mathcal{C}_{j}\right\}} \mathcal{D}_{j} \backslash\{k\}\tag{1.12}\]这是一组由协调 $\mathrm{MS} _ k$ 的干扰的基站所服务的共同用户组成的。因为 $SINR$ 无量纲，所以传输的能量和噪声能量是mW还是W并没有关系。为了简单起见，我们将 $\operatorname{SINR} _ {k}\left(\mathbf{S} _ {1}, \ldots, \mathbf{S} _ {K _ {r}}\right)$ 简写为 $\mathrm{SINR} _ {k}$。
$SNR$ 可以通过移除 $(1.11)$ 中的干扰项定义，然而，我们将主要使用该术语作为对给定用户（ $q_ {j} \frac{\left|\mathbf{h} _ {k}^{H} \mathbf{C} _ {k} \mathbf{D} _ {k}\right| _ {2}^{2}}{\sigma _ {k}^{2}}$ ，其中 $q_{j} $ 是从根本上限制传输能量的约束）的理想信令条件的指示。后面会证明最佳传输结构很大程度上取决于 $\mathrm{SNR}$。
注意，其他基于信道增益的SINR表达式也是可能的。考虑这样的情况：例如，$\mathrm{MS} _ k$ 从两个不同的基站接收具有相关矩阵 $\mathbf{S} _ {k}^{(1)}$ 和 $\mathbf{S} _ {k}^{(2)}$ 的两个统计上独立的数据信号。然后，得到对信息速率计算有用的SINR表达式(在具有连续干扰抵消的最佳接收处理之后)
\[\operatorname{SINR}_{k}^{2 \text {-signals }}\left(\mathbf{S}_{1}, \ldots, \mathbf{S}_{K_{r}}\right)=\frac{\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k} \mathbf{D}_{k}\left(\mathbf{S}_{k}^{(1)}+\mathbf{S}_{k}^{(2)}\right) \mathbf{D}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}}{\sigma_{k}^{2}+\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{C}_{k}\left(\sum_{i \neq k} \mathbf{D}_{i} \mathbf{S}_{i} \mathbf{D}_{i}^{H}\right) \mathbf{C}_{k}^{H} \mathbf{h}_{k}}\tag{1.13}\]如果所有数据信号都是独立的，则该表达式等同于 $(1.11)$。然而，如果 $\mathbf{S} _ {k}^{(2)}$ 表示用于多个用户的多播信号，则 $(1.13)$ 不能写成 $(1.11)$。例如，多播信号可以用于向不同用户组发送开销信令。这种类型的多播场景将在第4节中进一步描述。
每一个用户都有衡量其满意度的指标，关于 SINR 的 $g_{k}: \mathbb{R} _ {+} \rightarrow \mathbb{R} _ {+}$，通常取决于当前使用的服务(例如，其吞吐量和延迟约束）以及优先级。
定义 1.4 用户性能函数：用户 $\mathrm{MS} _ k$ 的性能由任意连续，可微，严格单调增的函数 $g _ {k}\left(\operatorname{SINR} _ {k}\right)$ 衡量的。函数满足 $g _ {k}(0)=0$。
本教程中的大多数分析结果只需要定义 1.4 中的结构属性，与用户性能函数的实际选择无关，因此我们将仅在需要时显式指定 $g _ {k}(\cdot)$。
下面是一些 $g _ {k}(\cdot)$ 的例子：
信息率
\[g_{k}\left(\mathrm{SINR}_{k}\right)=\log _{2}\left(1+\mathrm{SINR}_{k}\right)\]均方误差
\[\mathrm{MSE}_{k}=\mathbb{E}\left\{\left\|\hat{\mathbf{s}}_{k}-\mathbf{s}_{k}\right\|_{2}^{2}\right\}\]$\hat{\mathbf{S}} _ {k}$ 通过最优维纳滤波和非迭代接收来估计。如果 $M$ 个数据流打算输送到用户 $k$，那么 $\mathrm{MSE} _ {k}=M-\frac{\mathrm{SINR} _ {k}}{1+\mathrm{SINR} _ {k}}$，错误最小等价于最大 $g_ {k} \left(\mathrm{SINR} _ {k}\right)=\frac{\mathrm{SINR} _ {k}}{1+\mathrm{SINR} _ {k}}$。
比特错误率
16-QAM星座的格雷编码传输的误比特率(BER)为
\[\begin{aligned} P_{k, 16-Q A M}=\frac{3}{8} & \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{1}{10} \operatorname{SINR}_{k}}\right)+\frac{1}{4} \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{9}{10} \operatorname{SINR}_{k}}\right) \\ &-\frac{1}{8} \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{5}{2} \operatorname{SINR}_{k}}\right) \end{aligned}\]其中，$\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int _ {x}^{\infty} e^{-t^{2}} d t$ 是互补误差函数，且 $\operatorname{rank}\left(\mathbf{S} _ {k}\right) \leq 1$，错误最小等价于下式最大，$g _ {k}\left(\mathrm{SINR} _ {k}\right)=0.5-P _ {k, 16-\mathrm{QAM}}$。
就优缺点而言，信息率有一个简单和可市场化的解释，但建立在理想化的编码和信号处理假设之上。MSE经常给出简单的表达式，但可以说它与用户体验的服务质量只是模糊地联系在一起。BER在某种程度上是不言而喻的，但通常具有复杂的表达式(如从实施例1.8中看到的)，并且忽略对有效误码率有很大影响的信道编码。
